Ganzrationale Funktionen

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f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0

Musterbeispiele: [ 1 ] Lambacher Schweizer: Analysis, LK, Gesamtausgabe, Klett, Seite 114

Bei der Bildung der Ableitungen ist auf die Kettenregel zu achten ([ 1 ] Seite 169).

Diskussionspunkte:

Dmax   Nullstellen   Wendepunkte   Graph
Symmetrie   Extrempunkte   Krümmung    
Ableitungen   Monotonie   Grenzwerte    

größtmögliche Definitionsmenge Dmax= IR

einfache Symmetrien

Symmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)
Symmetrie zum Ursprung: f(-x) = - f(x)
Sonst: keine einfache Symmetrie

Vorgehensweise: Ersetzen Sie in der Funktionsgleichung jedes x durch (- x) und vergleichen Sie das Ergebnis f(-x) mit den Funktionstermen f(x) bzw. - f(x).

Überprüfen bzw. beachten Sie die gefundene Symmetrie beim Aufstellen einer Wertetafel, beim Zeichnen des Graphen und beim Aufsuchen charakteristischer Punkte.

Ableitungen f ’ und f ’’ bilden (f ’’’ i.d.R. überflüssig)

Achten Sie auf die "-"-Zeichen. Evtl. muß die Kettenregel angewendet werdet.

Nullstellen der Funktion [ 1 ] Seite 119

Eine ganzrationale Funktion vom Grad n (größter vorkommender Exponent der Variable) besitzt höchstens n Nullstellen ([ 1 ] Seite 120).

Vorgehensweise: Setzen Sie den Funktionsterm f(x)=0.

Funktionen 2. Grades: f(x) = ax2 + bx + c

Bringen Sie die Gleichung f(x)=0 auf Normalform:

x2 + px + q = 0

Lösen Sie diese Gleichung mittels quadratischer Ergänzung oder mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform:

Loesungsformel

 

ax2 + bx = 0 | x ausklammern
x(ax+ b) = 0
x = 0
Ú ax + b = 0

Beispiele:

3x2 + 24x +36 = 0 3x2 + 24x +51 = 0 3x2 + 24x +48 = 0 3x2 + 24x = 0

Funktionen 3. Grades: f(x) = ax3 + bx2 +cx+ d

ax3 + bx2 +cx = 0 | x ausklammern
x(ax2 + bx +c) = 0
x = 0
Ú ax2 + bx +c = 0
Lösen Sie die quadratische Gleichung ax2 + bx +c = 0 wie oben beschrieben.
Beispiel: [ 1 ] Seite 121, Aufgabe 13a):x3-2x2 - 8x = 0

ax3 + bx2 +cx + d = 0 | Eine Nullstelle x1 durch Probieren suchen und die Polynomdivision durch (x - x1) ausführen ([ 1 ] Seite 119):
(ax3 + bx2 +cx + d) = (x - x1)
· g(x)
Die weiteren Nullstellen bestimmt man über die Gleichung g(x) = 0
Beispiel
: [ 1 ] Seite 121, Aufgabe 14a): x3+10x2 + 7x -18 = 0; x1 = 1

Funktionen 4. Grades: f(x) = ax4 + bx3 +cx2+ dx + e

x ausklammern; x1 = 0 ist Nullstelle;
Löse die verbleibende Gleichung 3. Grades wie oben.
Beispiel
: [ 1 ] Seite 122, Aufgabe 17e):x4 - 4x3-7x2 + 22x = 0

Eine Nullstelle x1 durch Probieren suchen und die Polynomdivision durch (x - x1) ausführen; eventuell ist diese Vorgehensweise zweimal durchzuführen.
Beispiel
: [ 1 ] Seite 122, Aufgabe 17e):x4 - 4x3-7x2 + 22x = -24

ax4 + bx2 + e = 0 | ist eine biquadratische Gleichung und wird durch Substitution gelöst: Setze x2 := u
au2 + bu +c = 0 und löse diese in u quadratische Gleichung.
Mache die Substitution wieder rückgängig:
x2 = u1
Ú x2 = u2 nach x auflösen.
Beispiel
: [ 1 ] Seite 121, Aufgabe 12 c): 32x4 - 2x2 - 9 = 0

Extrempunkte [ 1 ] Seite 123 – 131

1. Notwendige Bedingung: f ’(x)=0

Der Graph hat an einem Extrempunkt eine waagerechte Tangente (Steigung = 0).

2. Hinreichende Bedingung: f ’(x) muß einen Vorzeichenwechsel an der Extremstelle aufweisen oder es muß an der Extremstelle

f ’(x)=0 Ù f ’’¹ 0 sein.

3. Berechnung der y-Koordinaten der Extrempunkte.

Vorgehensweise:

  1. Lösen Sie die Gleichung f ’(x)=0 wie bei Nullstellen beschrieben.
  2. Setzen Sie die gefundenen Werte für x in f ’’(x) ein und bestimmen Sie über das Vorzeichen die Art der Extremstelle.
  3. Setzen Sie die gefundenen Werte für x in f(x) ein, so erhalten Sie die y-Koordinaten der Extrempunkte.
Extrempunkte
  1. Sonderfall f ’(x)=0 Ù f ’’(x)=0

Überprüfen Sie zuerst, ob es sich um eine Wendestelle mit waagerechter Tangente handelt. Falls nicht, muß f ’(x) einen Vorzeichenwechsel (VZW) besitzen:

f ’(x)=0 Ù VZW von + nach - an der Stelle x Þ H(x|f(x))

f ’(x)=0 Ù VZW von - nach + an der Stelle x Þ T(x|f(x))

Monotonieintervalle [ 1 ] Seite 109

Extremstellen bilden eine Zerlegung von Dmax in Teilintervalle.

In jedem Teilintervall I bestimmt man durch eine Punktprobe das Vorzeichen von f ’(x).

Ist f ’(x)>0 für alle xÎ I, dann ist f(x) streng monoton wachsend in I,

ist f ’(x)<0 für alle xÎ I, dann ist f(x) streng monoton fallend in I.

Wendepunkte [ 1 ] Seite 132 – 134

1. Notwendige Bedingung: f ’’(x)=0

2. Hinreichende Bedingung: f ’’(x) muß einen Vorzeichenwechsel an der Wendestelle aufweisen

oder es muß an der Wendestelle f ’’(x)=0 Ù f ’’’¹ 0 sein.

3. Berechnung der y-Koordinaten der Wendepunkte.

Vorgehensweise:

  1. Lösen Sie die Gleichung f ’’(x)=0.
  2. Setzen Sie die gefundenen Werte für x in f ’’’(x) ein und untersuchen Sie, ob f ’’’(x)¹ 0 ist; alternativ untersuchen Sie f ’’(x) auf VZW an den gefundenen Stellen.
  3. Setzen Sie die gefundenen Werte für x in f(x) ein, so erhalten Sie die y-Koordinaten der Wendepunkte W(x|f(x)).

Krümmungsintervalle [ 1 ] Seite 132

Wendestellen bilden eine Zerlegung von Dmax in Teilintervalle.

In jedem Teilintervall I bestimmt man durch eine Punktprobe das Vorzeichen von f ’’(x).

Ist f ’’(x)>0 für alle xÎ I, dann ist der Graph von f dort linksgekrümmt,

ist f ’’(x)<0 für alle xÎ I, dann ist der Graph von f dort rechtsgekrümmt.

Grenzwerte für x¾ ¾ ® +¥ und für x¾ ¾ ® -¥ [ 1 ] Seite 117

Das Verhalten ganzrationaler Funktionen f(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + a1x + a0 wird für betragsgroße x durch den Term anxn mit der höchsten x-Potenz bestimmt

Achten Sie dabei auf das Vorzeichen von an und darauf, ob n gerade oder ungerade ist.

Graph [ 1 ] Seite 136

Zeichnen Sie in ein passend gewähltes Achsenkreuz ein:

Achten Sie auf Widersprüche in Ihrer Untersuchung:

z.B. muß sich bei ganzrationalen Funktionen zwischen Hoch- und Tiefpunkt immer ein Wendepunkt befinden, die Krümmung zu der Art der Extrempunkte passen.
Kontrollieren Sie evtl. die Steigung in den Nullstellen.

 

Hinweise:

Prägen Sie sich das Aussehen typischer Schaubilder ganzrationaler Funktionen ein:

Kurven 3. Grades haben i.d.R. das Aussehen eines liegenden "S".

Kurven 4. Grades sind U- oder W-förmig.

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L. Angel